Geometría Analítica: septiembre 2010

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

Ejemplo:

Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas.

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si tienen sus pendientes inversas y opuestas.

ms x mr = -1

Ejemplo

Calcular una recta perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

Forma Punto pendiente
Se utiliza cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos. La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y tiene la pendiente dada m es:

Simplificada:

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de −1 / 3.

Forma general

donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos

• Cuando A= 0 By + C = 0 y= -C/B representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es-C/B

• Cuando B =0 Ax + C = 0 x= -C/A representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es -C/A

• Cuando B y A > 0 En este caso, la ecuación puede escribirse en la siguiente forma:

La ecuación representa una linea recta, cuya pendiente es m= -A/B y cuyo intercepto con el eje y viene dado por b= -C/B

Forma de los interceptos

Cuando pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación viene dada por:

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

Se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente:

y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

Ángulo de Inclinación

• El ángulo 0(0<0<Pi ) que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta

• Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como

el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir;

Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:

La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así:

Si = 0o entonces m= 0
Si 0o < < 90o entonces m > 0

Si 90º < < 180o entonces m < 0

Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.

Lugar geométrico

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.

Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra, etc

Mediatriz de un segmento

La mediatriz del un segmento de extremos A (x1,y1) y B (x2,y2) es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) que equidistan (están a igual distancia) de A y B.

Condición:

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz del ángulo que forman 2 rectas r: Ax + By + C=0 y s: A'x + B'y + C'=0 es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) que equidistan (están a igual distancia) de las rectas r y s.

Condición:

Circunferencia
Sea un punto C (a,b) y un nº positivo r, la circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) cuya distancia al punto C es r.

Condición:

Cálculo de áreas en el plano cartesiano

Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de n lados cuyos vértices nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas :

Entonces el área de la región poligonal correspondiente, es el valor absoluto de la expresión S

De donde:

Ejemplo:

Hallar el área de un pentagono cuyos vértices son: (-6;16), (16;6), (-10;.4), (12;12), (20;8)
Elijamos como primer vértice al par ordenado (12;12)
luego:

Reemplazando estos valores

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

el área de dicha región será

División de un segmento en una razón dada

Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una razón dada por la expresión que se muestra a continuación,

Se puede decir que las coordenadas del punto C están dadas por:

Demostración:

Por triángulos semejantes

Al despejar x o y factorizando

Se obtiene:

Ejemplo:

Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determinado por E(-1, 6) y F(3, -3) en la razón r = ¾.

La coordenada x, según la expresión

Luego la coordenada y

Las coordenadas del punto A serán

Punto medio de un segmento

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos:

Ejemplo

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Distancia entre dos puntos en el plano

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por:

Demostración

En la figura hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta
~~P1P2~~
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica:

Ejemplo:

Hallar la distancia entre esos puntos: A ( 2, 4 ) y B ( 3 , 6 )

x₁ = 2

y₁ = 4

x₂ = 3

y₂ = 6

d AB= √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d AB = √ (3 - 2)² + (6 - 4)²
d AB= √ (1)² + (2)²
d AB= √ 1 + 4
d AB= √ 5

Sistema Coordenado Cartesiano

Es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen.

1.- El sistema coordenado Unidimensional
Está representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y P2(x2) se tiene

La distancia dirigida de P1 a P2 es : P2 - P1 = x2 - x1 La distancia no dirigida es

Ejemplo:

2.- El sistema coordenado Bidimensional

Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y)
El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas.